La simulación Monte Carlo usa muestreo aleatorio para resolver problemas que serían imposibles analíticamente. En finanzas, es fundamental para valoración de derivados, gestión de riesgo y proyección de carteras.
El Principio Básico
- Definir el modelo y sus parámetros
- Generar miles de escenarios aleatorios
- Calcular el resultado para cada escenario
- Agregar los resultados (media, percentiles, etc.)
Generación de Números Aleatorios
Para generar números normales a partir de uniformes, se usa la transformación de Box-Muller:
Z = √(-2 ln U₁) × cos(2π U₂)
Donde U₁ y U₂ son uniformes(0,1).
Movimiento Browniano Geométrico
Modelo estándar para precios de acciones:
St+1 = St × exp((μ - σ²/2)Δt + σ√Δt × Z)
Parámetros:
- μ: Drift (tendencia esperada)
- σ: Volatilidad
- Z: Variable aleatoria normal estándar
Aplicaciones en Finanzas
- VaR Monte Carlo: Simular distribución de pérdidas
- Valoración de opciones: Especialmente exóticas sin solución cerrada
- Proyección de carteras: Escenarios de retiro y planificación
- Riesgo de crédito: Simular defaults correlacionados
Convergencia
El error de Monte Carlo decrece con √N:
Error ≈ σ / √N
Para reducir el error a la mitad, necesitas 4x más simulaciones.
Técnicas de Reducción de Varianza
- Antithetic variates: Para cada Z, usar también -Z
- Control variates: Usar variables correlacionadas con solución conocida
- Importance sampling: Muestrear más en regiones importantes
- Stratified sampling: Dividir el espacio de muestreo
Ejemplo: VaR de una Cartera
- Estimar μ y Σ (matriz de covarianzas) de los activos
- Generar 10,000 vectores de rendimientos correlacionados
- Calcular el valor de la cartera en cada escenario
- Ordenar los resultados y tomar el percentil 5 (VaR 95%)
Conclusión
Monte Carlo es la navaja suiza de las finanzas cuantitativas. Su flexibilidad permite abordar problemas de cualquier complejidad, limitados solo por poder computacional y calidad de los modelos subyacentes.