La regresión lineal es una herramienta fundamental para estimar relaciones entre variables financieras, incluyendo el cálculo de betas y la evaluación de factores de riesgo.
El Modelo de Regresión Simple
Y = α + β × X + ε
Donde α es el intercepto, β la pendiente, y ε el término de error.
Estimación por Mínimos Cuadrados (OLS)
OLS minimiza la suma de errores al cuadrado:
β = Cov(X,Y) / Var(X)
α = Ȳ - β × X̄
α = Ȳ - β × X̄
Aplicación: Estimación de Beta
El CAPM se estima mediante regresión:
Ri - Rf = α + β(Rm - Rf) + ε
Interpretación:
- β: Sensibilidad al mercado
- α (alpha): Rendimiento anormal (positivo = bate al mercado)
- R²: Proporción de varianza explicada por el mercado
Diagnósticos Importantes
- R²: Bondad de ajuste (0-1)
- t-estadístico: Significancia de los coeficientes
- Durbin-Watson: Autocorrelación en residuos
- Heterocedasticidad: Varianza no constante de errores
Regresión Múltiple
Para modelos multifactor como Fama-French:
Ri = α + β1×MKT + β2×SMB + β3×HML + ε
Problemas Comunes
- Multicolinealidad: Variables independientes muy correlacionadas
- Autocorrelación: Errores correlacionados en el tiempo
- Heterocedasticidad: Varianza no constante
- Outliers: Observaciones extremas que distorsionan resultados
Conclusión
La regresión lineal es esencial para finanzas cuantitativas. Aunque simple conceptualmente, requiere cuidado en el diagnóstico y la interpretación para evitar conclusiones erróneas.